Междисциплинарный семинар САЕ «Математика, компьютерные науки и информационные технологии»

14 марта состоялось очередное заседание междисциплинарного семинара САЕ «Математика, компьютерные науки и информационные технологии», на котором сотрудники МИЭМ НИУ ВШЭ выступили на Факультете математики НИУ ВШЭ с докладами о своих научных работах.

Динамические фракталы и пространственно-распределенные игры

Е.А. Буровский. – к.ф.-м.н., доцент департамента прикладной математики МИЭМ НИУ ВШЭ

Мы изучаем критические свойства пространственной эволюционной игры, основанной на игре «Дилемма заключенного». В вычислительных экспериментах обнаружен скачок плотностей компонент, сопровождающийся скачкообразным изменением средних размеров кластеров игроков. Результаты численного моделирования не противоречат утверждению о том, что границы кластеров игроков представляют собой стохастические фракталы. Однако, фрактальная размерность границ кластеров у ростом размера игрового поля приближается к двум, и, таким образом, в асимптотическом пределе размера системы, стремящемся к бесконечности границы кластеров являются кривыми, заполняющими плоскость.

Глобальные решения параболических уравнений с малым параметром, в том числе назад по времени

В.Г. Данилов – д.ф-м.н., профессор департамента прикладной математики МИЭМ НИУ ВШЭ

В докладе было рассказано о решениях, имеющих нетривиальный логарифмический предел. Ясно, что в этом случае речь идет об аналоге известных WKB решений уравнений квантовой механики, отличие состоит в том, что рассматриваются вещественные решения.

Одна из основных проблем состоит в том, что, как и в случае WKB решений, в рассматриваемом случае построение решения основано на уравнениях в частных производных 1-го порядка. Решения таких уравнений, в общем случае, теряют гладкость при возрастании времени, и возникает задача о построении глобального по времени решения.

Эта задача была решена В.П. Масловым в духе его известной теории канонического оператора. Мы предлагаем другой подход, основанный на том, что многозначное решение WKB в случае параболических уравнений, по существу, является однозначным. Здесь мы используем теорию вязких решений уравнения Гамильтона-Якоби для построения фазовой функции, а для уравнения переноса, используя соображения Madelung’a о гидродинамической аналогии, используем конструкцию обобщенных решения уравнения неразрывности в разрывном поле скоростей (дельта-ударные волны). Данный подход не использует интегральных представлений решения, что позволяет рассматривать решения, не только вперед, но и назад по времени, используя обратимость сдвига вдоль гамильтонова потока (для стационарных функций Гамильтона).

Локальная модель квази скрытых параметров и максимальное нарушение неравенств Белла много-частичным квантовым состоянием

Е.Р. Лубенец – к.ф-м.н., профессор департамента прикладной математики МИЭМ НИУ ВШЭ

Хорошо известно, что вероятностное описание произвольного квантового корреляционного сценария на основе формализма фон Неймана не может быть воспроизведено в рамках локальной модели скрытых параметров (LHV модели). Мы вводим понятие локальной модели квази скрытых параметров (LqHVмодели) –новой вероятностной модели, где локальность и структура на основе теории меры, присущие LHV модели, сохранены, но позитивность меры не требуется, и устанавливаем необходимое и достаточное условие существования LqHV модели для корреляционного сценария наиболее общего типа. Мы доказываем, что: (i) для любого корреляционного сценария на произвольное N-частичное квантовое состояние локальная модель квази скрытых параметров существует; (ii) любое N-кудитное квантовое состояния допускает LqHV моделирование – в том смысле, что все совместные N-сторонние проективные измерения на это состояние допускают вероятностное описание в рамках единой локальной модели квази скрытых параметров. Применяя развитый нами формализм для анализа квантовых нарушений неравенств Белла, мы находим новые точные верхние оценки для максимального нарушения N-кудитным квантовым состоянием общих неравенств Белла.

Туннельная асимптотика решений уравнения Шредингера при гиперболическом частотном резонансе.

Е.В. Выборный – к.ф-м.н., доцент департамента прикладной математики МИЭМ НИУ ВШЭ

В докладе было рассказано о спектральной задаче для двумерного уравнения Шредингера с гиперболическим резонансом. Резонанс частот в главной части гамильтониана приводит к появлению необычной алгебры симметрий (интегралов движения) с полиномиальными коммутационными соотношениями. При этом ангармонические члены гамильтониана порождают нетривиальную внутреннюю динамику системы, которая описывается в терминах движения квазичастицы на симплектических листах алгебры симметрий. В частности, спектральные уровни гамильтониана могут иметь расщепление, связанное с туннелированием квантовой квазичастицы между различными областями фазового пространства. Было показано, как, применяя алгебраические и геометрические методы, построить асимптотику этого расщепления, а также асимптотику соответствующих билокализованных собственных функций. Доклады вызвали большой интерес аудитории, были дискуссии, участники выразили желание продолжать подобные встречи.