Следы интегральных операторов Фурье на подмногообразиях и их приложения

13 марта 2019 г. в МИЭМ НИУ ВШЭ в рамках научного семинара «Перспективные математические технологии» выступил Павел Сипайло (Российский Университет Дружбы Народов), основной темой доклада которого являлось описание следов интегральных операторов Фурье — одного из наиболее широких известных классов операторов, а также их приложения в задачах Соболева с нелокальными граничными условиями.

Более точно, в докладе обсуждалась ситуация, когда след на подмногообразии интегрального оператора Фурье снова оказывается интегральным оператором Фурье. Эта ситуация включает в себя многие известные результаты в относительной эллиптической теории, а также проливает свет и на некоторые новые эффекты.

Для гладкого вложения многообразий и некоторого оператора на объемлющем многообразии, след этого оператора на подмногообразии определяется как оператор, равный композиции этого оператора с граничным и кограничным операторами, отвечающими вложению, и в результате получается оператор на подмногообразии. Конструкция следа — центральное понятие в относительной эллиптической теории – теории операторов на гладком многообразии, на котором в качестве дополнительной структуры задано некоторое подмногообразие. Следы возникают при построении алгебры эллиптических морфизмов, отвечающих такой структуре, а также они появляются при исследовании операторов на многообразиях с точечными или многомерными особенностями (типа трансверсального пересечения подмногообразий).

По своему происхождению относительная эллиптическая теория восходит к работам Б. Ю. Стернина, посвящённым задаче Соболева — (псевдо)дифференциальной задаче, в которой граничные условия задаются на некотором подмногообразии произвольной коразмерности. Если исходный оператор на объемлющем подмногообразии является псевдодифференциальным, то его след на подмногообразии — снова псевдодифференциальный оператор. Это обстоятельство позволяет эффективно изучать задачи Соболева с псевдодифференциальными (локальными) граничными условиями.

Однако, ситуация резко меняется, если исходный оператор не является псевдодифференциальным: в этом случае выясняется, что конструкция следа может представлять оператор совершенно иной природы, чем исходный. Например, след оператора сдвига оказывается оператором, сосредоточенным в неподвижных точках соответствующего отображения (сдвига), т.е. является сглаживающим вне произвольной окрестности этих точек.

В ходе активного обсуждения доклада были рассмотрены потенциальные направления дальнейшей научной работы, а также примеры приложений основных результатов обсуждаемой работы.