Алгебра и геометрия

2023/2024

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

5

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 3, 4 модуль

Преподаватели

Волкова Татьяна Викторовна

Фимина Ксения Игоревна

Эминов Павел Алексеевич

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественно-научного цикла дисциплин. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем приизучении следующих дисциплин: «Дискретная математика», «Математическая логика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Электротехника и электроника», «Теория электрических цепей», «Общая теория связи», «Цифровая обработка сигналов», «Методы машинного обучения»

Цель освоения дисциплины

• Целью освоения дисциплины «Алгебра и геометрия» является формирование комплекса теоретических знаний и практических навыков по разделам линейной алгебры и аналитической геометрии, необходимых для решения задач в учебной и профессиональной деятельности.

Планируемые результаты обучения

• Умение решать задачи на поиск точек пересечений прямых, а также вычислять углы между прямыми на плоскости. Умение использовать при решении задач условия параллельности и перпендикулярности прямых.
• Владение алгеброй квадратных матриц: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Умение привести ненулевую матрицу элементарными преобразованиями к трапециевидному и треугольному виду. Умение вычислять определители матриц с использованием их основных свойств.
• Умение вычислять определитель матрицы, обратную матрицу и ранг матрицы методом Гаусса. Умение решать систему n линейных уравнений c n неизвестными методами Крамера и Гаусса.
• Знать определения линейного пространства, евклидова (унитарного) пространства, ранга матрицы. Знание аксиом скалярного произведения векторов в унитарном пространстве. Знать геометрический смысл линейной зависимости (независимости) векторов на прямой, на плоскости и в пространстве.
• Умение определять совместность системы линейных уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли и теоремы о базисном миноре. Умение представить общее решение однородной (неоднородной) системы уравнений через нормальную фундаментальную систему решений. Умение решать системы однородных и неоднородных линейных уравнений методом Гаусса.
• Умение вычислять скалярное и векторное произведения в декартовой системе координат. Умение вычислять площади треугольников и объемы пирамид с использованием векторного и смешанного произведений.
• Знание директориальных свойств, биссекториальных свойств касательных и оптических свойств эллипса, гиперболы и параболы.
• Владение алгеброй комплексных чисел: сложение, умножение на число и деление. Умение переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме. Умение возводить комплексное число в натуральную степень и извлекать из него корень.
• Умение применять алгоритм Грама-Шмидта для построения ортонормированного базиса в евклидовом(унитарном) пространстве по заданному базису.
• Умение вычислять собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Уметь преобразовывать базис и линейный оператор с помощью линейных преобразований. Умение приводить квадратичные формы к каноническому виду методом ортогональных преобразований и методом Лагранжа.
• Знание определений и свойств сопряженного, эрмитова и унитарного операторов, действующих в унитарном пространстве. Знание свойств собственных векторов и собственных значений эрмитова оператора.

Содержание учебной дисциплины

• Матрицы.
• Линейное пространство над произвольным полем.
• Векторная алгебра.
• Системы линейных алгебраических уравнений.
• Комплексные числа. Алгебраические линии и поверхности первого порядка.
• Алгебраические линии второго порядка на плоскости.
• Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы. Квадратичные формы.

Элементы контроля

• Контрольная работа №1
• Контрольная работа №2
• Активность
  Проверяется регулярно в течение 3 и 4 модуля учебного года.
• Активность
  Проверяется регулярно в течение 3 и 4 модуля учебного года.
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2023/2024 учебный год 4 модуль
  0.05 * Активность + 0.05 * Активность + 0.2 * Контрольная работа №1 + 0.2 * Контрольная работа №2 + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Ильин, В. А. Аналитическая геометрия : учебник / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 7-е изд., стер. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 224 с. — ISBN 978-5-9221-0511-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2179 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Ильин, В. А. Линейная алгебра : учебник / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 6-е изд., стер. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2020. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/185610 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Сборник задач по аналитической геометрии : учеб. пособие, Клетеник, Д. В., 2005
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Беклемишева, Л. А., 2001

Рекомендуемая дополнительная литература

• Friedberg, S. H., Insel, A. J., & Spence, L. E. (2014). Linear Algebra: Pearson New International Edition (Vol. Pearson new international edition). Harlow, Essex: Pearson. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1418313

Авторы

• Эминов Павел Алексеевич