Математическая физика сложных систем

В настоящее время для развития высоких технологий широко используются методы математического моделирования сложных систем.

Решаемые задачи:

Изучение ключевых математических характеристик сложных квантовых, молекулярных, гидродинамических систем. В частности:

• исследование обобщенной теоремы вириала для газа безмассовых электронов в дираковских материалах,
• изучение влияние деформаций на возникновение в этих материалах псевдомагнитного поля, исследование эффектов в псевдомагнитном поле графена, подвергнутого периодической деформации,
• изучение оптических свойств гиперболических метаповерхностей,
• исследование кластеризации в случайных графах Эреша-Реньи с различными параметрами распределения по степеням связности, изучение кластеризации в модели сети с двумя видами вершин и с фиксированной степенью связанности (двухцветная сеть), изучение сетей с n типами вершин (разноцветная сеть), исследование влияния распределения по степеням связности, в том числе, когда распределения отличаются внутри кластеров разного цвета,
• искусственное конструирование сетей заданной топологии: бимодальное распределение, мультимодальное распределение.
• изучение моделей дипольных систем капсидов вирусов и макромолекул,
• исследование существования и единственности решения уравнения типа Релея, возникающего в задаче обтекания поверхности с малыми неровностями, построение равномерно ограниченных семейств слабых асимптотических решений уравнений Навье-Стокса для сжимаемого случая, построение устойчивых разностных схем для уравнений Навье-Стокса в сжимаемом случае.

Результаты исследований:

a) в области теории:

• получение и исследование обобщенной теоремы вириала для безмассовых электронов в дираковских материалах, ее проверена при помощи квантовополевых расчетов,
• предсказание свойств вейлевского полуметалла в псевдомагнитном поле,
• исследование эффектов двумерной электронной оптики в псевдомагнитном поле графена, подвергнутого периодической деформации,
• предсказание оптических свойств гиперболических метаповерхностей, на основе графена, расчет характеристик оптического сенсора на основе гиперболических метаповерхностей,
• исследование спектральной задачи, возникающей при исследовании уравнения типа Рэлея, исследование свойств потенциала, обеспечивающих существование или отсутствие дискретного спектра,
• установление связи между слабыми пределами и обобщенными решениями уравнений Навье-Стокса для сжимаемого случая,
• аналитическое описание формирования кластеров в одноцветных и мультицветных сетях с различными топологическими характеристиками,
• построение рабочих моделей дипольных систем макромолеку и капсидов.

b) в развитии методологии:

• будет разработан вариационный метод минимизации энергии системы с одновременным наложением дополнительных условий обрезания по импульсу,
• будет разработано самосогласованное приближение хаотических фаз,
• будут разработаны методы построения сетей с различными распределениями связности для двухцветных и мультицветных моделей,
• будут разработаны быстрые алгоритмы вычисления кластерной структуры (community structure), в частности, основанные на вычислении спектра графа.

c) в получении новых эмпирических знаний:

• проверка обобщенной теоремы вириала для безмассовых электронов в графене при помощи численных расчетов, основанных на вычислении фейнмановских диаграмм,
• вычисление примеров течений на основе численного эксперимента с использованием построенных разностных схем,
• компьютерный эксперимент, основанный на методах Монте-Карло и Метрополиса, для переключения связей в случайном графе, разработка соответствующих алгоритмов для мультицветных графов, экспериментальное исследование топологии равновесного состояния в зависимости от вида взаимодействия вершин,
• разработка компьютерных программ для численного моделирования дипольных систем.

Партнеры:

Направление реализуется в сотрудничестве с ведущими институтами РАН: Институт биоорганической химии, Объединенный институт высоких температур, Институт химической физики, Математический институт, Институт спектроскопии и др., российскими ВУЗами и международными университетами: Московский физико-технический институт, Bonn University, University of Innsbruck, Sonora University, Mexico, Loughborough University, MIT, Max-Plank Institute и др., а также рядом российских технологических центров: Концерн "Вега": АО НИЦЭВТ, ВНИИА, Центр фундаментальных и прикладных исследований, «КинтехЛаб» Сколково, Межведомственный суперкомпьютерный центр РАН, ФГУП НИИ Физических проблем им. Ф.В. Лукина.

Контактная информация:

Карасев Михаил Владимирович, профессор, д.ф.-м.н., mkarasev@hse.ru