Распределенный межкампусный проект 2023

Тема: Развитие аналитических и численных методов исследования многомерных динамических систем

Период реализации: 2023-2025 гг.

Участники совместного проекта:

• Международная лаборатория динамических систем и приложений, НИУ ВШЭ — Нижний Новгород (руководитель проекта — Алексей Казаков)
• Лаборатория динамических систем и приложений, МИЭМ, НИУ ВШЭ — Москва (руководитель — Мария Белова) 

Название научного проекта на 2023 год: Инварианты и разрешимость нелинейных математических моделей

Цель: Численно и аналитически описать свойства решений и динамику нелинейных дифференциальных систем, встречающихся в различных областях науки, в частности, в физике (нелинейные осцилляторы, модели конвекции, модели гидродинамики), в нейродинамике (модели нейронов, ансамбли взаимодействующих элементов), механике (многочастичные динамические системы, динамика космического полета), биологии (модели пищевых цепочек жертва-хищник-суперхищник, модели типа Лотки-Вольтерры), химии (реакция Белоусова-Жаботинского и ее обобщения).

Задачи:

• Разработать и модернизировать ряд методов для построения инвариантных многообразий и точных решений нелинейных математических моделей.
• Классифицировать инвариантные многообразия для некоторых прикладных систем. Получить необходимые и достаточные условия интегрируемости для систем важных с прикладной точки зрения.
• Найти ранее неизвестные семейства интегрируемых и разрешимых дифференциальных систем.
• Разработать численные методы интегрирования уравнений ограниченной задачи трех тел, для поиска периодических и квазипериодических орбит вокруг точек Лагранжа.
• Исследование спектра гиперболических операторов, заданных на неприводимом представлении алгебры su(1,1), на наличие вырождения.

Результаты:

• Разработан метод построения неавтономных инвариантов неавтономных систем на плоскости. Найдены все неприводимые неавтономные инварианты неавтономной системы Дуффинга. Полностью решена проблема интегриируемости по Дарбу.
• Классифицированы алгебраические инварианты систем Лоренца и Раклиджа. Получены ранее неизвестные точные решения системы Раклиджа.
• Показано, что семейство нелинейных осцилляторов квадратичных относительно первой производной, которое обладает интегрирующим множителем определенного вида, может быть преобразовано к семейству уравнений Льенара, что позволяет упростить построение классификации интегрируемых подсемейств.
• Найдены все уравнения Льенара, которые обладают интегрирующими множителями, имеющими вид многочлена четвертой степени относительно первой производной в произвольной степени.
• Разработан численный метод для поиска начальных условий и расчета периодических орбит вокруг точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел.
• Выполнено исследование возможностей осуществления низкоэнергетических траекторий перелета на полярные орбиты ИСЛ в 2030 году.
• Показано, что траектории классического движения квадратичного оператора на алгебре su(1,1) обладают гиперболической симметрией. Из данного утверждения следует, что туннелирование спектра может оказываться полностью подавленным.
• Получено необходимое условие для двукратного вырождения собственных значений квадратичного оператора на алгебре su(1,1).

Межкампусное взаимодействие:

• Совместный научный семинар "Современные проблемы теории нелинейных динамических систем"
• Межкампусный курс "Введение в нелинейную динамику" (Авторы: Синельщиков Д.И., Станкевич Н.В.)
• Научная статья; статус: на рецензии (under review) 

Garashchuk I.R., Kazakov A.O., Sinelshchikov D.I. Hyperchaotic dynamics in a model of three
interacting microbubble contrast agents // International Journal of Non-Linear Mechanics (Список А)