Научный семинар «Современные проблемы теории нелинейных динамических систем»

В рамках доклада будет предложено математическое обоснование явления слияния аттрактора с репеллером, которое часто наблюдается при численных исследованиях. Режимы, которые наблюдаются в динамических системах, отождествляются с аттракторами (в том же смысле, как они определяются в одной из работ Рюэлля). Будет показано, что эти аттракторы могут быть трех разных типов. Аттракторы первых двух типов соответствуют двум хорошо известным типам хаотического поведения – консервативному и диссипативному, тогда как аттракторы третьего типа (обратимые ядра) относятся к новому типу хаоса – так называемой смешанной динамике, характеризующейся принципиальной неразделимостью диссипативного и консервативного поведения. Будет доказано, что каждая эллиптическая траектория типичной неконсервативной обратимой по времени системы является обратимым ядром. Также будет доказано, что типичная обратимая система с эллиптической траекторией является универсальной, т.е. демонстрирует максимально богатую и сложную динамику.

Аттрактор Лоренца является одним из первых и основных примеров робастных (т.е. устойчивых к малым изменениям параметров) хаотических аттракторов. Свойство робастности обусловлено наличием у аттрактора сингулярной гиперболической структуры. Также сингулярная гиперболичность позволяет провести достаточно полный анализ топологических и динамических свойств аттрактора Лоренца. В докладе мы обсудим некоторые определения и геометрические модели аттрактора Лоренца, его топологическую структуру и некоторые бифуркации, приводящие к рождению аттрактора Лоренца.

Доклад посвящен множителю Якоби для автономной динамической системы размерности два и выше и его применениям для построения первых интегралов, поиска изолированных периодических траекторий, решения обратной задачи вариационного исчисления и ряда других задач. Также будут рассмотрены различные способы построения интегрирующего множителя для заданной динамической системы, в частности с использованием групп Ли и нелокальных преобразований.

В рамках доклада будут представлены результаты исследования хаотического поведения в системах под периодическим импульсным воздействием. С помощью спектра показателей Ляпунова в пространстве параметров внешней силы классифицированы различные типы хаотического поведения, в том числе многомерный хаос, описаны сценарии развития различных типов аттракторов. В случае подачи импульсов возможно наблюдать различные нелинейные эффекты: синхронизации и стабилизации, которые будут обсуждаться в рамках доклада.

В докладе рассматривается семейство кубических относительно первой производной дифференциальных уравнений второго порядка. Представители данного семейства уравнений возникают в различных прикладных задачах в механике, физике и биологии. Кроме того, подобные уравнения являются проекциями уравнений геодезических для двумерных римановых поверхностей. Рассматриваются задачи эквивалентности для исследуемого семейства уравнений и его интегрируемых случаев, в частности уравнений из классификации Пенлеве-Гамбье, относительно обобщенных нелокальных преобразований. Показано что решения данных задач приводит к новым критериям интегрируемости и возможности построения первых интегралов и интегрирующих множителей. Также рассматривается вопрос о существовании представления Лакса для уравнений из построенных классов эквивалентности. Демонстрируется что данные результаты могут быть использованы для поиска интегрируемых и суперинтегрируемых двумерных Римановых метрик.

Доклад посвящен проблеме нахождения инвариантов для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Будет дано детальное описание метода, позволяющего находить все инвариантные алгебраические многообразия для широких классов полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Также планируется рассмотреть приложения теории инвариантов при исследовании интегрируемости и разрешимости дифференциальных систем.